微分方程式で数学モデルを作ろう　2章

今週のMIKUの内容とscilabの利用を少々。

条件
・濃度を $C(t)$ とする
・ $m \leq C(t)\leq M$ をみたす
・ $C(0)=m$ をみたす
・単位時間当たりの投与量を $Q(t)=($ 一定 $\)\geq 0$ とする
・ $C(t)$ と $Q(t)$ は $\frac{dC}{dt}=-kC+q$ をみたす(ただし、 $q(t)=\frac{Q(t)}{V}$ )
・ $min\{\int_{0}^{T}q(t)dt\}$ をみたす
・濃度が $C(t)=M$ となったときは $C(t)=m$ となるまで $Q(t)=0$ とする
をみたすような $q(t)$ を求めたいとします。

まず、 $km \leq q(t) \leq kM$ のとき、
$C(t)=(m-\frac{q}{k})e^{-kt}+\frac{q}{k}$
となり、
濃度　 $\frac{q}{k}$ 　にそのまま収束します。

次に、　 $kM < q(t)$ 　のとき、
$0 \leq t \leq T_{1}$ 　で、
経路： $C(t)=(m-\frac{q}{k})e^{-kt}+\frac{q}{k}$ 　を通り、
$T_{1} \leq t \leq T_{1}+T_{2}$ 　で、
経路： $C(t)=(M-\frac{q}{k})e^{-k(t-T_{1})}+\frac{q}{k}$ 　を通り、
これを繰り返すことになります。
ちなみに、 $T_{1}=\frac{1}{k}log\{\frac{q-km}{q-kM}\}$ 、 $T_{2}=\frac{1}{k}log\{\frac{M}{m}\}$ です。
このとき、投与量の時間平均は $q(t)\times\frac{T_{1}}{T_{1}+T_{2}}$ 　となり、
具体的には　 $q\times\frac{log\{\frac{q-km}{q-kM}\}}{log\frac{M}{m}+log\{\frac{q-km}{q-kM}\}}$ 　となります。
$q\longrightarrow\infty$ のとき、
$q(t)\times\frac{T_{1}}{T_{1}+T_{2}}\longrightarrow k\times\frac{M-m}{log\frac{M}{m}}$ 　となりますが、
これは瞬間的に濃度 $m$ から $M$ になるまで投与した場合の投与量の時間平均 $\frac{(M-m)}{T_{2}}$ と同じになります。

その間の振る舞いなのですが、
まず、 $x=\frac{m}{M}$ 　 $q(t)=(l+1)kM$ とおきます。（ $x\in(0,1)$ , $l>0$ ）
すると、 $q(t)\times\frac{T_{1}}{T_{1}+T_{2}}=kM\times\frac{log(1+\frac{1-x}{l})^{l+1}}{log\{(1+\frac{1-x}{l})\times\frac{1}{x}\}}$ となります。
$(1+\frac{1-x}{l})^{l+1}$ 　、　 $\{(1+\frac{1-x}{l})\times\frac{1}{x}\}$ とも1より大きくなります。
そこで、 $(1+\frac{1-x}{l})^{l+1}\div\{(1+\frac{1-x}{l})\times\frac{1}{x}\}=x(1+\frac{1-x}{l})^{l}$ をとり、
$l>0$ をみたす $x$ の関数とみると、 $x=0$ で0、 $x=1$ で1となります。
また、微分すると $(1+\frac{1-x}{l})^{l-1}\{1-x+\frac{1-x}{l}\}>0$ となり単調増加なので
$x\in(0,1)$ , $l>0$ のもとで、 $1<(1+\frac{1-x}{l})^{l+1}<\{(1+\frac{1-x}{l})\times\frac{1}{x}\}$
よって、[tex:kM\times\frac{log(1+\frac{1-x}{l})^{l+1}}{log\{(1+\frac{1-x}{l})\times\frac{1}{x}\}}