2章 what evolution is
evolutionary dynamicsの基本概念replication,selection,mutationについて。
replication:自己の(遺伝情報も含めて)複製。
selection:異なる個体間での淘汰。
mutation:異なる(遺伝情報をもつ)個体の生産。
1.reproduction
期間毎にそのときの個体数x(t)とある正の定数rの積で増殖するとき、
と表され、解は
となる。
これと同時に、ある正の定数dで死亡するとき、
と表され、寿命の平均はとなり、個体の増加率はrとなる。
のときに、個体数は増加していく。
最大値Kの制限付き増加モデルは、上式に制限項をかけたもので
と表され、解は
と表される。
この解はKに収束する。
今、K=1として差分方程式を考える。
負の値を取らない条件は。
収束値はaの値によって変わる。
のとき、。
[tex:1
f<-function(a,x){y<-a*x*(1-x) return(y)} t<-50 a<-1:40*0.1 x<-0.5 X<-matrix(0,t,length(a)) X[1,]<-x for(i in 2:t){ X[i,]<-f(a,X[i-1,]) } matplot(X[,1:10],type='l') matplot(X[,11:30],type='l') matplot(X[,31:40],type='l')
このモデルはさらに決定論的カオスで初期値鋭敏性をもつ。
f<-function(a,x){y<-a*x*(1-x) return(y)} t<-50 a<-4 x<-c(0.3156,0.3157) X<-matrix(0,t,length(x)) X[1,]<-x for(i in 2:t){ X[i,]<-f(a,X[i-1,]) } matplot(X[,1:2],type='l')
2.selection
2種類の生物の個体数x(t),y(t)がそれぞれa,bの割合で初期値増殖するモデル
,
について
とすることで、a,bの大きさで淘汰される側がわかる。
総個体数一定の条件x+y=1の下では
が得られ、均衡は。
また、a,bの大きさによって収束先が変わる。
これが適者生存の概念である。
多次元に応用すれば
かつとして
とすると、
単体上で考えられる。
fが最も大きい個体に収束する。
a<-matrix(0,500,3) a[1,1]<-runif(1)/2 a[1,2]<-runif(1)/2 a[1,3]<-1-a[1,1]-a[1,2] f1<-1/2 f2<-1/3 f3<-1/6 S<-function(x,y,z){sigma<-sum(x*f1+y*f2+z*f3) return(c(x+x*(f1-sigma),y+y*(f2-sigma),z+z*(f3-sigma)))} for(i in 1:499){a[i+1,]<-S(a[i,1],a[i,2],a[i,3])} library(rgl) plot3d(a,type="l",col="2")
この3次元verでは初期状態(1/2,1/3,1/6)から(1,0,0)に収束する軌道になる。(f1が最も大きいので)
3.mutation
2タイプの個体X,Yの個体数x,yについてmutationを起こしてもう一方の個体を生む割合をそれぞれとすると
としてx,yの時間変化は表される。
とすると、であり、
このときxの均衡値となる。
3つ以上のタイプの場合、mutation matrix,Q=]を用いて
と表される。
Qはn*nの推移確率行列となる。
4.mating
閉鎖的な環境下、変異も起きない中でramdom matingが行われればallele頻度は保存される(Hardy-Weinbergの法則)