コーシーの定理の証明 - 魚料理好きの日記

正規形の一階微分方程式に対する初期値問題
$y^{'}(x)=f(x,y),\,\,\,\,y(\alpha)=\beta$ 　　　　　・・・(A.1)
についての解の存在定理をコーシーの定理という。

[定理]
x-y平面上の長方形領域
$D=\{(x,y);|x-\alpha|\leq a,|y-\beta|\leq b\}$
において、関数f(x,y)は連続でリプシッツ条件
$|f(x,y)-f(x,z)|\leq L|z-y|,L>0$
を満たすと仮定する。Dにおける|f(x,y)|の最大値をMとすると、初期値問題(A,1)の解が区間
$I\,\,:=\{x;\,|x-\alpha|\leq min\,\{a,\frac{b}{M}\} \}$ ・・・(A.2)
で一意に存在する。

逐次近似法での証明になります。

まず、 $\begin{eqnarray}y_{0}(x)\eq\beta\end{eqnarray}$ と置き、
関数 $y_{1}(x)$ を
$\begin{eqnarray}y_{1}^{'}(x)=f(x,y_{0})\end{eqnarray},\,\,\,\,y_{1}(\alpha)=\beta$
によって定める。これを積分すれば $y_{1}(x)$ は
$y_{1}(x)=\beta+\int_{\alpha}^{x}f(t,y_{0})dt$
と求められる。
同様に、 $y_{2}(x)$ を
$y_{2}^{'}(x)=f(x,y_{1}),\,\,\,\,y_{2}(\alpha)=\beta$
すなわち、
$y_{2}(x)=\beta+\int_{\alpha}^{x}f(t,y_{1})dt$
によって定める。これを繰り返し、 $y_{n}(x)$ から $y_{n+1}(x)$ を
$y_{n+1}^{'}(x)=f(x,y_{n}),\,\,\,\,y_{n+1}(\alpha)=\beta$
すなわち、
$y_{n+1}(x)=\beta+\int_{\alpha}^{x}f(t,y_{n})dt$ (n=0,1,2,...) ・・・(A.3)
と定め、関数 $y_{n}(x)$ を第n次近似解と呼ぶことにする。

以下ではこの関数列 ${y_n(x)}$ が $n \to \infty$ としたときに初期値問題(A.1)の解に収束することを示します。

[補題1]
各近似解 $y_{n}(x)$ は(A.2)で与えられた区間Ｉで連続で
$|y_{n}(x)-\beta| \leq b$ 　　　　　・・・(A.4)
を満たす。

[補題１の証明]
数学的帰納法を用います。
まず、 $y_{0}(x)\eq\beta$ は明らかにこの性質を満たす。
そこでいま、 $y_{n}(x)$ が区間Ｉ上で連続で(A.4)を満たすと仮定する。
すると、fに関する仮定より $f(x,y_{n}(x))$ はＩ上で連続であり、また
$|f(x,y_{n}(x)\,)|\leq M$
を満たす。従って、(A.3)より、 $y_{n+1}(x)$ はＩ上で連続であり、また
$|y_{n+1}(x)-\beta|=|\int_{\alpha}^{x}f(t,y_{n})dt|\leq M|x-\alpha|\leq b$
を満たす。よって ${y_{n+1}(x)}$ も(A.4)を満たすから、数学的帰納法より証明を得る。

[補題２]
近似解 $y_n(x)$ は $n \to \infty$ としたとき、区間Ｉ上で一様にある関数 $y= \phi (x)$ に収束し、また
$|\phi(x)-\beta|\leq b$ 　　　　・・・(A.5)
が成り立つ。

[補題２の証明]
関数 $z_n(x)$ を $z_0(x)\eq\beta$ および
$z_n(x)=y_n(x)-y_{n-1}(x)$ (n=1,2,3,....)
で定める。すると
$y_n(x)=z_0(x)+z_1(x)+z_2(x)+\dots+z_n(x)$
と表されるから、 $n \to \infty$ としたときに右辺の級数が区間Ｉ上で一様にある関数に収束することを示せばよい。
n=1,2,3,...に対して(A.3)を用いると
$|z_{n+1}(x)|=|y_{n+1}(x)-y_n(x)|\\=|\int_{\alpha}^{x}\{ f(t,y_n(t))-f(t,y_{n-1}(t)\,)\}dt|\\ \leq \int_{\alpha}^{x}| f(t,y_n(t))-f(t,y_{n-1}(t)\,)|dt$
が成り立つ。ここでリプシッツ条件より
[|f(t,y_n(t)\,)-f(t,y_{n-1}(t)\,)| \leq L|y_n(t)-y_{n-1}(t)|=L|z_n(t)|]
が成り立つことを用いると、
$z_{n+1}(x) \leq L|\int_{\alpha}^{x}|z_n(t)|dt|$ 　　　・・・(A.6)
が得られる。(A.6)でn=1とし、
$|z_1(x)|=|y_1(x)-y_0(x)|=|\int_{\alpha}^x f(t,y_0)dt|\leq\,M|x-\alpha|$
を用いると、
$|z_2(x)|\leq L\|\int_{\alpha}^{x}M|t-\alpha |dt\|=\frac{LM}{2}|x-\alpha|^2$
を得る。同様に(A.6)でn=2とし、この不等式を代入すると
$|z_3(x)|\leq L\| \int_{\alpha}^{x}\frac{LM}{2}|t-\alpha|^2dt\|=\frac{L^2M}{3!}|x-\alpha|^3$
を得る。この手続きを繰り返せば、順に
$|z_n(x)|\leq \frac{L^{n-1}M}{n!}|x-\alpha|^n$ 　　　(n=1,2,3,....)
が得られる。級数
$\sum^{\infty}_{n=1}\frac{L^{n-1}M}{n!}|x-\alpha|^n$
はL,Mの値に関係なく、区間I上で一様に収束し、その和は
$\frac{M}{L}(e^{L|x-\alpha|}-1)$
である。従ってワイエルシュトラスの優級数定理により、関数列 ${y_i(x)}$ はある関数 $y=\phi(x)$ に一様収束し、不等式
$|\phi(x)-\beta|\leq\frac{M}{L}(e^{L|x-\alpha|}-1)$
を満たすことが示される。各近似解は(A.4)を満たしているから、その極限関数は(A.5)を満たす。

[補題３]
近似解の列 $\{y_n(x)\}$ の極限関数 $y=\phi(x)$ は初期値問題(A.1)を満たす

[補題３の証明]
関数列 ${y_n(x)}$ は一様収束し、また各項 $y_n(x)$ は連続であるからその極限関数 $\phi(x)$ も連続である。
また、fの連続性から $f(x,y_n(x))$ は区間Ｉ上で一様に $f(x,\phi(x))$ に収束する。従って、
$y_{n+1}(x)=\beta+\int_{\alpha}^{x}f(t,y_n(x))dt$
において $n\to\infty$ とすると両辺とも一様収束し、
$\phi(x)=\beta+\int_{\alpha}^{x}f(t,\phi(t))dt$
が成り立つ。ここで $x=\alpha$ と置くと、 $\phi(\alpha)=\beta$ を得る。一方、xで微分すると、
$\phi^{'}(x)=f(x,\phi(x))$
が得られる。よって $y=\phi(x)$ は初期値問題(A.1)の一つの解である。

[補題４]
$y=\phi(x)$ は初期値問題(A.1)をＤ上で満たすただ一つの解である。

[補題４の証明]
二つの解 $y=\phi(x)$ と $y=\psi(x)$ があったと仮定する
$\phi(x)=\beta+\int_{\alpha}^{x}f(t,\phi(t)\,)dt,\,\,\,\,\psi(x)=\beta+\int_{\alpha}^{x}f(t,\psi(t)\,)dt$
が成り立つから、その差を取ると
$|\phi(x)-\psi(x)|=\|\int_{\alpha}^{x}{f(t,\phi(t)\,)-f(t,\psi(t)\,)}dt\|\\\,\,\,\leq\|\int_{\alpha}^{x}|f(t,\phi(t)\,)-f(t,\psi(t)\,)|dt\|$
を得る。この右辺にリプシッツ条件を適用すると、
$|\phi(x)-\psi(x)|\leq L\|\int_{\alpha}^{x}|\phi(t)-\psi(t)|dt\|$ 　　　　　・・・(A.7)
を得る。ここで、二つの解の解曲線は領域Ｄに含まれているから
$|\phi(x)-\psi(x)|\leq 2b$
が成り立つ。これを(A.7)の右辺に代入すると
$|\phi(x)-\psi(x)|\leq 2Lb|x-\alpha|$
を得る。再びこれを(A.7)の右辺に代入すると
$|\phi(x)-\psi(x)|\leq L^2b|x-\alpha|^2$
となり、これをk回繰り返すと
$|\phi(x)-\psi(x)|\leq\frac{2L^kb}{k!}|x-\alpha|^k$
が得られる。 $k\to\infty$ とすると右辺は区間Ｉ上で一様に0に収束する。
よって $\phi(x)\eq\psi(x)$ となり、初期値問題(A.1)の解の一意性が示された。

以上より、コーシーの定理が証明されます。